Добрый день!
1. С федеральным единовременным пособием проблем не будет
С Питерским региональным единовременным пособием, думаю, тоже не будет проблем при наличии у ребенка регистрации в СПб по месту жительства или месту пребывания на момент обращения за пособием (и опекун, и усыновитель регистрируют ребенка у себя, просто при опеке обычно это временная регистрация по месту пребывания до 18 лет). Подробности можно уточнить в МФЦ.
Страница услуги- https://gu.spb.ru/188011/mfcservice/
"Заявители- Один из усыновителей, опекунов, попечителей, приемных родителей, являющиеся гражданами Российской Федерации, которые приняли на воспитание в семью ребенка (в отношении которого подается заявление), принадлежащего к категории детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, имеющего место жительства или место пребывания в Санкт-Петербурге".
Знаю случай, когда усыновители увезли ребенка из СПБ в Москву, там зарегистрировали по месту жительства, не оформив пособия, но потом, после оформления в Питере регистрации по месту вр.регистрации, все же оформили питерское единовременное.

2. Да, имеете
Федеральный закон от 29.12.2006 N 256-ФЗ
"О дополнительных мерах государственной поддержки семей, имеющих детей"
ст.3
1. Право на дополнительные меры государственной поддержки возникает при рождении (усыновлении) ребенка (детей), имеющего гражданство Российской Федерации, у следующих граждан Российской Федерации независимо от места их жительства:
1) женщин, родивших (усыновивших) второго ребенка начиная с 1 января 2007 года.
7. Право на дополнительные меры государственной поддержки возникает со дня рождения (усыновления) первого, второго, третьего ребенка или последующих детей независимо от периода времени, прошедшего с даты рождения (усыновления) предыдущего ребенка (детей), и может быть реализовано не ранее чем по истечении трех лет со дня рождения (усыновления) первого, второго, третьего ребенка или последующих детей, в связи с рождением (усыновлением) которых возникло указанное право, за исключением случаев, предусмотренных частью 6.1 статьи 7 настоящего Федерального закона.

3. Да, но,возможно, через обжалование отказа в суде.
Если у ребенка есть основания для включения в список на обеспечение жилым помещением по ч.1 или ч.4 ст.8 ФЗ 159 - https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_12778/785ff748eda8db09e9275dc8231632fa1a2d0062/, то включить в список можно по месту проживания с опекуном, даже если ребенок зарегистрирован по месту временного пребывания до 18 лет:

В "Обзоре практики рассмотрения судами дел, связанных с обеспечением детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, лиц из числа детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, жилыми помещениями", утвержденном Президиумом Верховного Суда Российской Федерации 20 ноября 2013 г., разъяснено, что единственным критерием, по которому следует определять место предоставления жилого помещения детям-сиротам, федеральным законодателем названо место жительства этих лиц.

ч.2 ст. 20 ГК РФ - 2. Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей - родителей, усыновителей или опекунов.

+Если ребенок на момент принятия в семью уже включен в список на жилье, то при переезде в новый регион с опекуном есть процедура "перевода очереди"- то есть его исключат из списка в том регионе и включат в список в СПб. Услуга оформляется в МФЦ- https://gu.spb.ru/188495/mfcservice/