Добрый день.

Судебной практики именно по заключенным договорам о ПС я не нашла. КС РФ эту ситуацию тоже не комментировал, в ней вроде нет каких-то особенностей для ПС, это обычный договор возмездного оказания услуг по ГК РФ, а не социальная выплата/льгота и пр. семейные отношения (именно поэтому КС РФ разъяснил возможность взыскивать проценты за пользование чужими денежными средствами по ст. 395 ГК при просрочке выплаты вознаграждения, поскольку  они взыскиваются по договору оказания услуг)

СК РФ
Статья 9. Применение исковой давности в семейных отношениях

1. На требования, вытекающие из семейных отношений, исковая давность не распространяется, за исключением случаев, если срок для защиты нарушенного права установлен настоящим Кодексом.
2. При применении норм, устанавливающих исковую давность, суд руководствуется правилами статей 198 - 200 и 202 - 205 Гражданского кодекса Российской Федерации.

ст. 152 

2. К отношениям, возникающим из договора о приемной семье, применяются положения главы 20 настоящего Кодекса.
К отношениям, возникающим из договора о приемной семье, в части, не урегулированной настоящим Кодексом, применяются правила гражданского законодательства о возмездном оказании услуг постольку, поскольку это не противоречит существу таких отношений.

Поэтому в любом случае руководствоваться нужно общими нормами ГК об исковой давности при взыскании задолженности по договору оказания услуг:

ст.196 ГК 

1. Общий срок исковой давности составляет три года со дня, определяемого в соответствии со статьей 200 настоящего Кодекса.

Статья 199 ГК.

1. Требование о защите нарушенного права принимается к рассмотрению судом независимо от истечения срока исковой давности.
2. Исковая давность применяется судом только по заявлению стороны в споре, сделанному до вынесения судом решения.
Истечение срока исковой давности, о применении которой заявлено стороной в споре, является основанием к вынесению судом решения об отказе в иске.

Статья 200 ГК РФ
1. Если законом не установлено иное, течение срока исковой давности начинается со дня, когда лицо узнало или должно было узнать о нарушении своего права и о том, кто является надлежащим ответчиком по иску о защите этого права.
2. По обязательствам с определенным сроком исполнения течение срока исковой давности начинается по окончании срока исполнения.

Статья 203 ГК РФ

Течение срока исковой давности прерывается совершением обязанным лицом действий, свидетельствующих о признании долга.
После перерыва течение срока исковой давности начинается заново; время, истекшее до перерыва, не засчитывается в новый срок.

Статья 205 ГК РФ

В исключительных случаях, когда суд признает уважительной причину пропуска срока исковой давности по обстоятельствам, связанным с личностью истца (тяжелая болезнь, беспомощное состояние, неграмотность и т.п.), нарушенное право гражданина подлежит защите. Причины пропуска срока исковой давности могут признаваться уважительными, если они имели место в последние шесть месяцев срока давности, а если этот срок равен шести месяцам или менее шести месяцев - в течение срока давности.

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 29.09.2015 N 43
(ред. от 22.06.2021)
"О некоторых вопросах, связанных с применением норм Гражданского кодекса Российской Федерации об исковой давности"

24. По смыслу пункта 1 статьи 200 ГК РФ течение срока давности по иску, вытекающему из нарушения одной стороной договора условия об оплате товара (работ, услуг) по частям, начинается в отношении каждой отдельной части. Срок давности по искам о просроченных повременных платежах (проценты за пользование заемными средствами, арендная плата и т.п.) исчисляется отдельно по каждому просроченному платежу.

В данном случае договор был уже заключен (в отличие от судов, когда оспаривали отказ в заключении договора о ПС), в нем сторонами были согласованы ежемесячные сроки уплаты вознаграждения с четкой датой оплаты (в тексте договора или с отсылкой к региональному нормативному акту), поэтому, мне кажется, срок исковой давности в 3 года надо считать в отношении каждого такого ежемесячного платежа, если не было каких-либо документов, свидетельствующих о признании ответчиком задолженности за спорный период.

Таким образом, подать то иск вы можете, но при заявлении ответчиком просьбы к суду применить срок исковой давности суд ее применит, конечно:( Уважительных причин для восстановления пропущенного  такого огромного  срока, в том числе с учетом того, что вы смогли при этом  отсудиться по долгу за период в пределах срока исковой давности без всяких болезней и пр., нет. Говорить о том, что о нарушении своего права  в 2017-2021гг вы узнали только из первого решения суда о взыскании долга за 2022-2024 года - вряд ли пройдет, ведь можно было также подать ранее в пределах исковой давности иск о взыскании долга за спорный период, а  о неполучении вознаграждения  по сроку уплаты до  20 ноября 2017 года,например, вы узнали 21 ноября 2017 года все же, а не в 2025 году.

Вот рядовой пример решения суда по делу о взыскании долга по договору оказания услуг:

Постановление Арбитражного суда Поволжского округа от 05.09.2022 N Ф06-21414/2022 по делу N А72-15808/2021
Требование: О взыскании задолженности по договору на оказание услуг.
Обстоятельства: Истец ссылался на неисполнение ответчиком обязательств по оплате оказанных услуг.
Решение: В удовлетворении требования отказано, поскольку истцом пропущен срок исковой давности.

"Возражая против удовлетворения исковых требований, ответчик в отзыве на иск сослался на пропуск истцом срока исковой давности для взыскания задолженности за сентябрь, октябрь 2017 года, поскольку, по мнению ответчика, услуги за сентябрь 2017 года должны быть оплачены не позднее 01.09.2017, о наличии задолженности Истец узнал/должен был узнать 02.09.2017; услуги за октябрь 2017 года должны быть оплачены не позднее 01.10.2017, о наличии задолженности Истец узнал/должен было узнать 02.10.2017.
Согласно отметке Арбитражного суда на исковом заявлении, истец обратился в суд лишь 21.10.2021, то есть с пропуском срока исковой давности более чем на 1 (один) год.

Срок давности по искам о просроченных повременных платежах (проценты за пользование заемными средствами, арендная плата и т.п.) исчисляется отдельно по каждому просроченному платежу.
Таким образом, право истца на предъявление требования о взыскании с ответчика задолженности и начало течения срока исковой давности обоснованно признано судами подлежащим исчислению со следующих календарных дат:
- за сентябрь 2017 года с 02.09.2017;
- за октябрь 2017 года с 03.10.2017 (01.10.2017 - воскресенье).
Согласно пункту 3 статьи 202 Гражданского кодекса Российской Федерации, если стороны прибегли к предусмотренной законом процедуре разрешения спора во внесудебном порядке (процедура медиации, посредничество, административная процедура и т.п.), течение срока исковой давности приостанавливается на срок, установленный законом для проведения такой процедуры, а при отсутствии такого срока - на шесть месяцев со дня начала соответствующей процедуры.
В данном случае срок исковой давности в силу пункта 3 статьи 202 Гражданского кодекса Российской Федерации не приостанавливался, поскольку досудебная претензия от 01.09.2021 направлена истцом в адрес ответчика после истечения срока исковой давности.
С учетом изложенного судебными инстанциями правомерно определено, что трехгодичный срок исковой давности по требованиям истца о взыскании с ответчика задолженности следует исчислять в следующие периоды:
- за сентябрь 2017 года с 02.09.2017 по 02.09.2020;
- за октябрь 2017 года с 03.10.2017 по 03.10.2020.
Истец обратился в арбитражный суд с настоящим иском 20.10.2021 согласно оттиску штемпеля организации почтовой связи на конверте.
При таких обстоятельствах срок исковой давности по требованиям истца о взыскании с ответчика основного долга по оплате услуг за сентябрь - октябрь 2017 года в размере 45000 руб. пропущен.

Как следует из пункта 26 Постановления N 43, с истечением срока исковой давности по главному требованию считается истекшим срок исковой давности и по дополнительным требованиям (проценты, неустойка, залог, поручительство, требование о возмещении неполученных доходов при истечении срока исковой давности по требованию о возвращении неосновательного обогащения и т.п.), в том числе возникшим после начала течения срока исковой давности по главному требованию.
При таких обстоятельствах срок исковой давности по требованиям истца о взыскании с ответчика процентов за пользование чужими денежными средствами в сумме 11 506,91 руб. за период с 03.10.2017 по 15.10.2021 также признан пропущенным.

Довод заявителя кассационной жалобы о том, что ответчик не заявлял ходатайство о применении срока исковой давности и суд необоснованно применил указанный срок, судом кассационной инстанции отклоняется, поскольку в отзыве на исковое заявление ответчик просил отказать в удовлетворении исковых требований, ссылаясь на пропуск истцом срока исковой давности по заявленным требованиям.
Таким образом, судами предыдущих инстанций обоснованно отказано в удовлетворении требований истца в полном объеме".

-и вот нашла 1 суд по договору о ПС, но там как раз ситуация про обжалование отказа  в заключении договора о ПС, в связи с чем дополнительно заявлено требование и о взыскании вознаграждения за прошлый период (не ваша история):

Апелляционное определение Московского городского суда от 08.10.2020 N 2-937/2020, 33-35657/2020
Категория: Оспаривание актов органов опеки и попечительства.
Требования: 1) О признании недействительным акта органов опеки и попечительства; 2) Об обязании заключить договор о приемной семье; 3) Об обязании назначить и выплатить ежемесячное вознаграждение приемному родителю.
Обстоятельства: Истец обратилась к ответчику с заявлением о заключении договора о приемной семье в отношении подопечной, однако в удовлетворении данной просьбы ей было отказано, в связи с отсутствием у подопечной места жительства на территории города Москвы, что, по мнению истца, является незаконным и нарушает ее права.
Решение: 1) Удовлетворено; 2) Удовлетворено; 3) Удовлетворено.

"05 декабря 2019 года П.Н. обратилась в суд с иском о признании незаконным решения ОСЗН района Ново-Переделкино УСЗН ЗАО г. Москвы N 240 от 02 марта 2016 года об отказе в заключении договора о приемной семье в отношении подопечной К., паспортные данные, обязании заключить договор о приемной семье и назначить ежемесячное денежное вознаграждение приемному родителю с 29 января 2016 года.
Принимая во внимание изложенные обстоятельства, руководствуясь пунктом 1 статьи 9 Семейного кодекса Российской Федерации, судебная коллегия приходит к выводу о том, что к сложившимся правоотношениям не применимы правила о пропуске срока исковой давности, установленные статьей 196 Гражданского кодекса Российской Федерации, в связи с чем у суда первой инстанции отсутствовали основания для отказа П.Н. в удовлетворении исковых требований по причине пропуска срока исковой давности.
и суд определил: Принять по делу новое решение.
-Признать незаконным решение ОСЗН района Ново-Переделкино УСЗН ЗАО г. Москвы N 240 от 02 марта 2016 года об отказе П.Н. в заключении договора о приемной семье в отношении подопечной К., паспортные данные.
-Обязать ОСЗН района Ново-Переделкино УСЗН ЗАО г. Москвы заключить с П.Н. договор о приемной семье в отношении подопечной К., паспортные данные.
-Обязать ОСЗН района Ново-Переделкино УСЗН ЗАО г. Москвы назначить и выплатить П.Н. ежемесячное денежное вознаграждение приемного родителя в отношении подопечной К., паспортные данные, с 29 января 2016 года".